Les problèmes, c'est un problème.

Attention, l'article qui va suivre est un pavé!

Il vous explique d'où part ma réflexion sur les problèmes.

Il fait un résumé d'une étude Canadienne très parlante et significative sur les problèmes.

Il vous propose un système de problèmes sous forme d'Escape Game pour essayer de pallier aux problèmes mentionnés ci-dessus!

J'ai envie de vous dire de le lire, même si c'est un pavé! Bah oui, parce que déjà, je l'ai écrit, donc ça m'ennuierait un peu que personne de s'y intéresse. Et ensuite, parce que réellement, pédagogiquement, je trouve l'étude Canadienne dont je parle extrêmement pertinente.

Les problèmes, c'est un problème.

Je pense que c'est pareil chez vous, mais chez moi (et quelles que soient les classes), il y a des élèves qui comprennent du premier coup et d'autres qui ne comprennent jamais!

Vous pouvez leur expliquer par A + B, leur donner des choses à manipuler, chanter, danser, frapper des mains...ils vous regardent avec un grand "ahhhh", repartent à leur place et écrivent (avec un peu de chance) la bonne opération.

Sauf que le lendemain, vous leur redonnez la même chose et que c'est le vide intersidéral. Ou alors, ils se souviennent vaguement qu'hier, ils ont fait un "+", alors ils le refont et tombent (par hasard) sur la bonne réponse. Mais, toujours est-il que la petite lumière ne s'est toujours pas allumée dans leur tête!

Bref, je ne sais pas vous! Mais moi, ça m'énerve!

Alors, j'ai cherché une solution! Et pour la trouver (enfin, ne rêvez pas, je n'ai pas trouvé LA solution, j'ai juste avancé un peu dans ma réflexion), j'ai lu!

J'ai lu plein de collègues et de manuels qui expliquent la ritualisation des problèmes! Sauf que ça, j'avais déjà essayé, et que je n'étais pas convaincue!

Oui, quand je fais un problème chaque jour, mes élèves comprennent mieux ce qu'il faut chercher. Oui, ils comprennent aussi qu'il faut faire un dessin, une opération et une phrase réponse. Oui, ils tombent plus souvent sur la bonne opération. Oui, ils sont beaucoup plus dans le contrat didactique face à ce genre d'exercices et du coup, répondent mieux à nos attentes. Je ne dis pas que c'est mal, bien au contraire.

SAUF QUE...

Sauf que....Non, les élèves qui ne comprennent pas du premier coup n'accèdent pas plus au sens (enfin, pas chez moi) si je leur donne un problème tous les jours. Ils accèdent plus à la méthodologie, au mieux, mais pas plus au sens!

Tout ça, ça m'a donné très envie de dire:

Oui, les amateurs du genre comprendront du premier coup. Les autres ne comprendront pas totalement, même si on leur explique, parce que c'est comme le coup des problèmes avec les élèves: il faut le voir pour bien le comprendre!

Mais, je n'ai pas dit "Bref", et tout à coup, au fil de mes lectures, j'ai compris un truc! Ces enfants là n'accèdent pas à l'abstraction que demandent les situations mathématiques!

Bon, là je me suis dit "OK! T'es bien barrée, parce que comment tu vas faire pour les faire accéder à l'abstraction?"

Donc, j'ai encore lu.

Et voici ce que j'ai retiré d'une lecture très parlante (que vous pouvez lire ici, mais comme elle fait 200 pages, vous pouvez aussi lire mon résumé ci-dessous!) et Canadienne (parce que moi, même si climatiquement parlant, je ne pourrais jamais aller vivre au Canada, je les trouve quand même vachement plus avancés que nous sur le point de vue de l'éducation!)

Définition de l’abstraction

L’un des mécanismes les plus importants dans la formation des concepts mathématiques est celui de l’abstraction.

L’abstraction est ce qui nous permet d’aller au-delà de quelques cas particuliers vers quelque chose de plus général.

Attention, l’abstraction n’est pas instantanée : c’est un PROCESSUS ! Mais c’est quelque chose d’élémentaire chez l’humain. L’être humain peut apprendre une quantité colossale de faits, mais parfois, sans saisir ce qu’ils ont en commun. Donc ils ne peuvent pas passer au niveau conceptuel supérieur. A la base de l’abstraction, il y a la formation d’un concept. C’est-à-dire, regrouper les choses ou les objets selon un élément commun.

Le but est de trouver les actions pédagogiques et didactiques qui vont permettre aux élèves de s’engager dans le processus d’abstraction.

Selon Britt-Mari Barth, quand on apprend un concept, on apprend à reconnaître et à distinguer les attributs  qui le spécifient. On nomme ces attributs par une étiquette.

Ces attributs sont les  caractéristiques que les exemples ont toujours en commun, malgré les différences qu’ils peuvent avoir par ailleurs.

Par exemple, on a un processus qui fait qu’on reconnait le concept « fruits » en faisant abstraction de la forme, de la couleur, de l’odeur, de la provenance…

Bref, c’est facile.

Alors pourquoi est-ce que c’est difficile lorsqu’on parle d’abstractions mathématiques ?

Et bien, le problème c’est que les abstractions mathématiques, au lieu de porter sur des objets concerts, comme dans la vie, portent sur des symboles (représentant ces objets concrets).

Exemple concret pour mieux comprendre

Voilà donc un exemple où des élèves ont dû faire preuve d’abstraction.

Ils ont reçu la suite suivante :

 Première étape

Avec leur enseignante, ils ont continué à construire la suite jusqu’à la figure 6.

 Deuxième étape

Puis, ils ont imaginé qu’ils allaient devoir expliquer à un enfant factice, ce qu’il fallait faire pour construire les figures 8, 12 et 25.

C’est là que les enfants ont dû former le CONCEPT : distinguer ce qu’il y a de commun et de différent entre ces figures.

Les élèves ont dégagé ceci : il y a deux rangées, celle du haut a un carré foncé à la fin. Le nombre de la figure est le même que le nombre de carrés blancs.

Voilà, ils ont fait une première abstraction qui leur a permis de trouver le nombre de carrés dans d’autres figures (comme la 25 ou la 50).

Mais si on veut aller encore plus loin dans l’abstraction, il faut que les élèves généralisent la procédure et qu’ils disent comment faire quel que soit le nombre !

 Troisième étape 

Une autre situation fictive a alors été imaginée : Mettre un billet avec un nombre, dans une enveloppe. Puis écrire un message à un élève en lui expliquant clairement ce qu’il faut qu’il fasse pour que, dès qu’il voit le nombre sur son billet, il puisse calculer rapidement le nombre de carrés qu’il y aura dans la figure.

Au bout d’un moment de réflexion guidée par l’enseignante, les élèves sont arrivés à un message, pour un élève fictif nommé Tristan :

« Allô, Tristan! Si un numéro que tu as… tu mets le même numéro en bas, le même numéro en haut, plus 1. Après tu prends la calculatrice, tu mets le numéro dessus, plus le même numéro, plus 1. Après, ça va te dire la réponse. »

 Conclusion

On voit ainsi que les élèves sont parvenus à un double passage à l’abstrait :

1: ils ont formulé l’abstraction en indiquant comment construire la figure dans des cas particuliers (avec 8, avec 12, etc…)

2 : Ils ont formulé l’abstraction en indiquant comment calculer le nombre de carrés de la figure quel que soit le nombre indiqué. C’est une généralisation algébrique.

La deuxième généralisation algébrique s’appuie sur la première. Et cela nous montre qu’en mathématiques, il y a un ENCHAINEMENT (concaténation) des ABSTRACTIONS ! Et cela, ajouté au fait qu’en mathématique, on passe par des symboles, cela crée des difficultés chez les élèves.

Oui, car les abstractions mathématiques sont des abstractions d’autres abstractions, qui reposent elles-mêmes sur d’autres abstractions.

Par exemple, le symbole « 6 » est l’abstraction de « la quantité de 6 objets ». Et le symbole « + » est l’abstraction du concept de « rajouter ». Et le symbole « = » est l’abstraction du concept « d’égalité ». Donc si je dis « Marc a 6 billes. Émilie en a 8. Ils mettent toutes les billes ensemble. Combien les enfants ont-ils de billes en tout ? », il y a en jeu 3 abstractions mathématiques qui sont concomitantes, et cela rien que sur les symboles. A cela, il faut ajouter qu’il faut avoir fait l’abstraction du concept de « en tout égale à une somme de quantité ».

D’ailleurs, à mon avis, le fait que vers le CP/CE1, les élèves arrivent à dire que c’est 6 + 8 n’est pas du tout la preuve qu’ils ont fait l’abstraction de tous ces concepts, mais qu’ils ont fait l’abstraction d’un concept « quand on me demande combien en tout, je prends les chiffres et je fais + ». Car si on donnait le même problème en rajoutant la donnée « Et en plus, la maitresse a 9 billes cachées dans son tiroir », certains feraient 8 + 6 + 9.

DONC ça ne peut pas être un processus contemplatif. Pour faire une abstraction, il faut donc qu’on réussisse à faire CHANGER LE CONCEPT !

Maintenant qu’on sait tout ça, on va pouvoir se poser la question de quelles sont les actions didactiques qui vont permettre aux élèves d’entrer dans ce processus d’abstraction.

Il va donc falloir choisir de « bonnes » activités. Elles doivent rendre possible un engagement soutenu de l’élève. Et donc, pour cela, il faut mobiliser deux dimensions : la dimension affective ET la dimension cognitive.

Quand on donne un problème à un élève, il va commencer par utiliser ce que Lev Vygotski appelle le « concept quotidien ».

Par exemple, dans un problème de partage de 18 galettes entre 3 enfants, il va distribuer une à une les galettes entre les 3 enfants puis recompter ensuite que chaque enfant en a 6.

Mais ce que veut l’enseignant et surtout, ce qui permet à l’enfant d’apprendre est l’utilisation (toujours selon Lev Vygotski) du concept scientifique.

Donc se rendre compte que 6 x 3 = 18 donc 18 divisé par 3 = 6 et que l’on peut généraliser ce processus à d’autres nombres.

Donc, on voit bien qu’il ne s’agit pas de donner aux élèves un seul problème pour assurer le passage à l’abstrait. Il faut une transition progressive pendant laquelle l’élève va répondre à une série de problèmes de difficulté graduelle.

Cet ensemble de questions de plus en plus difficiles s’appelle une UNITÉ CONCEPTUELLE. L’unité conceptuelle est l’élément clé du passage à l’abstrait.

C’est la motivation. Il doit y avoir une interaction qui a pour objectif une coopération pour enrichir le savoir personnel mais aussi pour tisser des liens de solidarité et de compréhension avec les autres.

Mais pour que cela fonctionne, il faut que l’élève comprenne qu’il a une responsabilité vis-à-vis des autres élèves du groupe. C’est cela qui va l’empêcher de laisser les autres faire le travail à sa place.

Lorsqu’on est face à un problème :

La première abstraction est de le représenter par la modélisation et d’arriver à le résoudre ainsi. Ensuite, on va pouvoir passer par le dessin. C’est la première abstraction.

Il va ensuite falloir faire une deuxième abstraction qui va consister à expliquer à quelqu’un qui n’a pas les mêmes chiffres (et dont on ne connait pas les chiffres), comment il va faire pour trouver la solution.

Exemple d’unité conceptuelle pour accéder à l’abstraction

NB : Le document donne plein d’exemples d’unités conceptuelles, mais j’ai choisi le premier exemple car même s’il est légèrement trop difficile pour nos élèves d’élémentaires, il est quand même proche d’eux. Les autres sont plus du niveau collège/lycée. Je les ai donc laissés de côté.

L’enseignante a donné ce problème 

« La mère de Paulette et de Richard décide de donner un cadeau à ses enfants. Elle leur donne des enveloppes contenant des cartes de hockey. Pour que les enveloppes soient identiques, elle met le même nombre de cartes de hockey dans chaque enveloppe.

Paulette avait déjà 7 cartes et sa mère lui donne 1 enveloppe.

Richard avait déjà 2 cartes et sa mère lui donne 2 enveloppes.

Maintenant les 2 enfants ont le même nombre de cartes de hockey.

Combien y a-t-il de cartes dans chaque enveloppe? »

Première étape :

Les élèves ont modélisé la situation avec des vraies cartes et des vraies enveloppes. Ils se sont rendu compte que s’ils enlevaient 2 cartes à Paulette et 2 cartes à Richard, l’égalité restait juste puisqu’on avait enlevé la même chose à chacun. Ensuite, on pouvait de nouveau enlever une enveloppe à chaque (on enlève toujours la même chose à chacun).

Il restait donc 5 cartes du côté de Paulette et 1 enveloppe du côté de Richard.

Donc une enveloppe contenait 5 cartes.

Concrètement, là, on est dans le concept quotidien. Les élèves savent résoudre le problème intuitivement, et ils n’apprennent rien de plus.

Deuxième étape :

Ils ont refait le problème avec d’autres nombres et le problème a tout de suite été très facilement résolu avec la manipulation. Selon l’étude, cela a pris moins de 30 secondes.

Troisième étape :

Ensuite, l’enseignante a enlevé le matériel et a proposé de dessiner. Là aussi, cela a été rapide car il suffisait de barrer ce qu’on enlevait.

Quatrième étape :

L’enseignante a ensuite proposé d’écrire à quelqu’un comment faire pour trouver le nombre de cartes dans l’enveloppe et cela, quels que soient les nombres donnés par l’énoncé. Là, cela a commencé à être plus compliqué. Les élèves ont fini par y arriver.

« Tu enlèves le même montant de cartes sur chaque côté [jusqu’à ce qu’il] n’y en ait plus. Après tu enlèveras le même montant d’enveloppes jusqu’à ce qu’un côté n’en ait plus. Tu divises le montant de cartes par le montant d’enveloppes (p. ex., si tu as 100 cartes, puis 4 enveloppes, tu feras 100 ÷ 4 qui te donnera 25 cartes dans chaque enveloppe).

Cinquième étape :

L’enseignante a donné le nouveau problème (identique aux précédents, mais avec des nombres différents) :

« La mère de Mario et de Chantal décide de donner un cadeau à ses enfants. Elle leur donne des enveloppes contenant des cartes de hockey. Pour que les enveloppes soient identiques, elle met le même nombre de cartes de hockey dans chaque enveloppe.  Mario avait déjà 12 cartes et sa mère lui donne 1 enveloppe. Chantal avait déjà 3 cartes et sa mère lui donne 4 enveloppes. Chantal a le même nombre de cartes de hockey que Mario. Combien y a-t-il de cartes dans chaque enveloppe?»

L’enseignante a demandé à ses élèves de représenter le problème, mais en utilisant des symboles mathématiques. Après discussion, les élèves ont pu dégager qu’on pouvait mettre « n » comme nombre de cartes dans l’enveloppe.

Collectivement, ils aboutissent donc à une égalité du type (pour les données de ce problème, exactement formulé comme le premier mais avec des nombres différents) :

12 + 1n = 3 + 4n

Les élèves savent (et se sont rendus compte), depuis la première étape, qu’on peut enlever la même chose à chacun sans que cela ne change l’égalité. C’est donc ce que cherche à faire faire cette enseignante. Elle aimerait que les élèves aboutissent à : n = 3.

Alors que la manipulation avec du matériel prenait moins de 30 secondes, résoudre la même chose avec des lettres a pris plus de 5 minutes.

Il s’agissait pourtant bien de la même situation et de la même chose à faire : enlever la même chose de chaque côté pour isoler l’enveloppe face à un nombre de cartes OU (et c’est la même chose), enlever la même chose de chaque côté pour isoler n face à un nombre. 

Concrètement, on bascule ici dans la zone de développement proximale, qui permet de passer au concept scientifique. Là, l’élève apprend quelque chose.

Sixième étape :

A la fin de la journée, les élèves sont repartis avec des équations de ce type à résoudre (sans problème lié, juste les équations).

Septième étape :

Le lendemain, l’enseignante a donné cela :

• 7n +2 = 6n + 8
• 2x +3 = x + 5

Cette fois, les élèves savaient très bien résoudre l’équation avec n, mais ne savaient pas du tout comment s’y prendre pour l’équation avec x.

Les élèves du groupe se sont disputés car ils n’arrivaient pas à se mettre d’accord sur ce que représentait x. Est-ce que c’était un « fois » ? Est-ce que c’était comme « n » ? Est-ce que c’était « le nombre d’enveloppe » ?

Les élèves ont fini par trouver la solution. L’abstraction était faite.

Il a donc fallu plusieurs éléments importants pour que cette unité conceptuelle permette de passer à l’abstraction mathématique :

• Un contexte familier du problème
• Du matériel de manipulation
• Un travail de groupe pour confronter les idées
• Un choix judicieux des problèmes: les élèves peuvent les résoudre en utilisant des concepts quotidiens, mais la discussion en groupe classe avec l’enseignante amène à un concept scientifique, qui est donc juste dans leur zone de développement proximale.

J'ai été super intéressée par cette idée d'unité conceptuelle et cette mise en place progressive des problèmes. Notamment, le passage du concept quotidien au concept scientifique!

J'ai donc décidé de concevoir mes problèmes sous cet angle:

Un problème = 3 problèmes

Un premier problème à résoudre avec de la manipulation

Un deuxième problème à résoudre avec une opération (donc une première abstraction = le passage aux symboles mathématiques)

Un troisième problème à résoudre quelque soit le nombre (donc en faisant une deuxième abstraction: expliquer à un camarade comment il doit faire, quelque soit le nombre)

Ensuite, j'ai pensé qu'il fallait rendre ça motivant. Après plusieurs recherches, je crois avoir trouvé une petite solution! A l'instar de quelques collègues blogueuses comme Mallory, j'ai décidé, moi aussi, de me lancer dans les Escape Game, mais en respectant toutes les principes expliqués ci-dessus!

Vous pouvez donc aller découvrir une période d'Escape Game dans cet article!